题目内容
在直角梯形中,
, 高
(如图1). 动点
同时从点
出发, 点
沿
运动到点
停止, 点
沿
运动到点
停止,两点运动时的速度都是1cm/s,而当点
到达点
时,点
正好到达点
. 设
同时从点
出发,经过的时间为
(s)时,
的面积为
(如图2). 分别以
为横、纵坐标建立直角坐标系, 已知点
在
边上从
到
运动时,
与
的函数图象是图3中的线段
.
(图1) (图2) (图3)
(1)分别求出梯形中的长度;
(2)分别写出点在
边上和
边上运动时,
与
的函数关系式(注明自变量的取值范围), 并在图3中补全整个运动中
关于
的函数关系的大致图象.
(3)问:是否存在这样的t,使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.
(1);
(2)当点在
上时,
;当点
在
上时,
;图象见解析;
(3)或6.
解析试题分析:(1)P在AD边上运动时,三角形BQP以BQ为底边,以CD的长为高,因此可根据三角形BQP的面积,求出BC,而P、Q速度相同,P到A的时间与Q到C的时间相同,因此BA=BC.求AD的长可通过构建直角三角形来求解.
(2)三角形BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ为底边的高,可用BP•sinB来表示,然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y,t的函数关系式.
(3)PQ将梯形ABCD的面积分成两部分,左边部分面积逐渐增大,右边面积逐渐减少,故有两种可能,一是左边面积等于梯形ABCD面积的 ,另一种是右边面积等于梯形ABCD面积的
.
试题解析:(1)设动点出发t秒后,点P到达点A且点Q正好到达点C时,BC=BA=t,
则S△BPQ= ×t×3.6=10.8,
所以t=6(秒).
则BA=6(cm),
过点A作AH⊥BC于H,
则四边形AHCD是矩形,
∴AD=CH,CD=AH=3.6cm,
在Rt△ABH中,BH= cm,
∴CH=1.2cm,
∴AD=1.2cm;
(2)当点在
上时,
;
当点在
上时,
;
整个运动中关于
的函数关系的大致图象:
(3)梯形ABCD的面积:
设存在这样的t,使PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分,
当点在
上时,△PQB的面积是:
,故有:
,此时:
;
当点与点
上重合时,点
与点
上重合,△PQB的面积是:
,此时:
,也满足PQ将梯形ABCD的面积恰好分成1:6的两部分.所以:
或6.
考点:二次函数综合题.
