Question

已知关于x的方程x²-kx+k-1=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当k=3时，△ABC的每条边长恰好都是方程x²-kx+k-1=0的根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）先计算△得到△=k²-4k+4=（k-2）²，根据非负数的性质得到（k-2）²≥0，即△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）把k=3代入方程得到x²-3x+2=0，利用因式分解法可解得x₁=2，x₂=1，由于△ABC的每条边长恰好都是方程x²-kx+k-1=0的根，则△ABC的三边为2、2、2或1、1、1或2、2、1，然后分别计算周长．

解答：（1）证明：△=k²-4k+4=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：当k=3时，方程变形为x²-3x+2=0，解得x₁=2，x₂=1，
△ABC的三边为2、2、2或1、1、1或2、2、1，
所以△ABC的周长为6或3或5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．