Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆．
（1）设点P为⊙B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；
（2）在（1）的条件下，若∠CPB=135°，则BD=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据SAS即可证明△ACD≌△BCP，再根据全等三角形的性质可得AD=BP；
（2）分P点在BC上面和P点在BC下面两种情况讨论可得BD的长；
（3）当∠PBC=135°时，BD有最大值；当∠PBC=45°时，BD有最小值．
解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP
在△ACD与△BCP中，
∵，
∴△ACD≌△BCP（SAS）
∴AD=BP；

（2）解：在（1）的条件下，若∠CPB=135°，则BD=或2；

（3）解：当∠PBC=135°时，BD有最大值，且最大值为；
当∠PBC=45°时，BD有最小值，且最小值为 ．
故答案为：或2；135，；45，．
点评：考查了圆的综合题，涉及的知识有全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，最大值与最小值，注意分析问题要全面，以免漏解，有一定的难度．