题目内容
【题目】如图所示:在平面直角坐标系中,以点M(0,)为圆心,2为半径作⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,连接AM并延长交⊙M于点P,连接PC交x轴于点E.
(1)求点C,P的坐标;
(2)求弓形的面积;
(3)探求线段BE和OE存在何种数量关系,并证明你所得到的结论.
【答案】(1)P点坐标为(3,2),C(0,﹣);(2)S弓形ACB=4π﹣;(3)BE=2OE,见解析
【解析】
试题分析:(1)连接PB.根据直径所对的圆周角是直角判定PB⊥OM;由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线;最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由⊙M的半径长求得点C的坐标;
(2)连接BM,易求扇形AMB的面积和△AMB的面积,由S弓形ACB=S扇形AMB﹣S△AMB计算即可;
(3)首先证△AMC为等边三角形,再根据等边三角形的三个内角都是60°和直径所对的圆周角∠ACP=90°可求得∠OCE=30°,然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE.
解:(1)连接PB,
∵PA是圆M的直径,
∴∠PBA=90°,
∴AO=OB=3,
又∵MO⊥AB,
∴PB∥MO,
∴PB=2OM=2
∴P点坐标为(3,2),
在直角三角形ABP中,AB=6,PB=2,
根据勾股定理得:AP==4,
∴圆的半径MC=2,
又∵OM=,
∴OC=MC﹣OM=,
则C(0,﹣);
(2)连接BM,
∵BP=2,AP=4,
∴sin∠PAB=,
∴∠PAB=30°,
∴OM=AM=,
∴S△AMB=ABOM=×6×=3,
∵
∴∠AMB=120°,
∴S扇形AMB==4π,
∴S弓形ACB=4π﹣;
(3)BE=20E,理由如下:
∵AM=MC=2,AO=3,OC=,
∴AM=MC=AC=2,
∴△AMC为等边三角形,
又∵AP为圆M的直径,
∴∠ACP=90°
∴∠OCE=30°,
∴OE=1,BE=2,
∴BE=2OE.