题目内容

【题目】如图所示:在平面直角坐标系中,以点M(0,)为圆心,2为半径作M交x轴于A,B两点,交y轴于C,D两点,连接AM并延长交M于点P,连接PC交x轴于点E.

(1)求点C,P的坐标;

(2)求弓形的面积;

(3)探求线段BE和OE存在何种数量关系,并证明你所得到的结论.

【答案】(1)P点坐标为(3,2),C(0,﹣);(2)S弓形ACB=4π﹣(3)BE=2OE,见解析

【解析】

试题分析:(1)连接PB.根据直径所对的圆周角是直角判定PBOM;由已知条件OA=OB推知OM是三角形APB的中位线;最后根据三角形的中位线定理求得点P的坐标、由M的半径长求得点C的坐标;

(2)连接BM,易求扇形AMB的面积和AMB的面积,由S弓形ACB=S扇形AMB﹣SAMB计算即可;

(3)首先证AMC为等边三角形,再根据等边三角形的三个内角都是60°和直径所对的圆周角ACP=90°可求得OCE=30°,然后在直角三角形OCE中利用30°角所对的直角边是斜边的一半来证明BE=2OE.

解:(1)连接PB,

PA是圆M的直径,

∴∠PBA=90°

AO=OB=3

MOAB

PBMO

PB=2OM=2

P点坐标为(3,2),

在直角三角形ABP中,AB=6,PB=2

根据勾股定理得:AP==4

圆的半径MC=2

OM=

OC=MC﹣OM=

则C(0,﹣);

(2)连接BM,

BP=2,AP=4

sinPAB=

∴∠PAB=30°

OM=AM=

SAMB=ABOM=×6×=3

AM=BM

∴∠AMB=120°

S扇形AMB==4π,

S弓形ACB=4π﹣

(3)BE=20E,理由如下:

AM=MC=2,AO=3,OC=

AM=MC=AC=2

∴△AMC为等边三角形,

AP为圆M的直径,

∴∠ACP=90°

∴∠OCE=30°

OE=1,BE=2,

BE=2OE

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