Question

如图，已知边长为4的正方形ABCD中，E为CD中点，P为BE中点，F为AP中点，FH⊥AB交AB于H连接PH则下列结论正确的有                              （   ）

①BE=AE   ② ③HP//AE  ④HF=1 ⑤

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

B

试题分析：①BE=AE正确：正方形ABCD中，E为CD中点，则过E作EM⊥AB。垂足为点M。则可证明M为AB中等，故Rt△AEM≌Rt△BEM，则AE=BE。
②正确：因为正方形ABCD中，E为CD中点，所以Rt△ADE中，AD=2DE，所以
，所以
由于△EBC不是等边三角形而是等腰三角形，而P是BE中点，所以AP并不垂直于BR，BE=2EP，只有当∠BPE=90°时sin∠EBP=，但∠EPA并不等于90°，所以②不正确；
（3）过点P作PM⊥AB于M，

由于F是AP中点，则HF是△APM的一条中位线，即H是AM中点，不是AB中点，故HP不是△BAE的中位线，也就可得出HP不平行AE，所以③错误；
（4）过点P作PM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于点N，

由点P是BE中点可得PM是△PNE的中位线，PM=NE=2，
（3）得出了HF是△APM的中位线，HF=PM，故可得HF=
PM=1，故④正确；
（5）
过点P作PM⊥AB于点M，作PL⊥BC于点L，则根据中位线的知识，可得出PM=2，PL=1，从而求出S△APC=S△ABC-S△ABC-S△ABP-S△BPC=8-2-4=2，再由AF=FP可得S△AFC=
S△ABC=1，故⑤正确．综上可得①④⑤正确，共三个．故选C．
点评：本题难度较大，主要考查学生对四边形中全等三角形性质判定，及中位线等知识点综合运用能力，要求学生牢固掌握各性质判定灵活运用到考试中去。