题目内容
【题目】如图所示,在矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过点O的直线EF与AB,CD的延长线分别交于点E,F.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形?并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC和BD交于点O
∴AB∥CD; OB=OD
∴∠OEB=∠OFD
∵∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOF
(2)解：当EF与AC垂直的时候四边形AECF是菱形。
证明如下：
∵△BOE≌△DOF
∴ BE="DF"
∵ AB=CD
∴AE=CF且AE∥CF
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AECF是菱形
【解析】
（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．根据已知条件可证明四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定．
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