Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移1中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在2的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）

∴点B的坐标为（4，﹣1）．

∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，

∴，

解得：b=2，c=﹣1，

∴抛物线的函数表达式为：.

（2）

如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，

∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），

∴直线AC的解析式为y=x﹣1，

∵直线的斜率为1，

∴△P′PM是等腰直角三角形，

∵PP′=，

∴P′M=PM=1，

∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，

∵=，

∴平移后的抛物线的解析式为，

令y=0，则0=，

解得x1=1，x=52，

∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），

解，得或

∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），

∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．

（3）

如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四边形PQFN为平行四边形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．

∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．

【解析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，根据直线AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，进而求得抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，从而求得平移后的解析式，进而求得与x轴的交点，与直线AC的交点，即可证得结论；
（3）如答图3所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．