题目内容
【题目】如图,抛物线C1:y=x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为(2,0),将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,C2交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.
(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标;
(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD,当点D落在抛物线C2的对称轴上时,求抛物线C2的解析式;
(3)若抛物线C2的对称轴存在点P,使△PAC为等边三角形,求m的值.
【答案】(1)抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x,顶点坐标(1,﹣1);
(2)抛物线C2的解析式为:y=(x﹣2)2﹣1;
(3)m=.
【解析】试题分析:(1)把(0,0)及(2,0)代入y=x2+bx+c,求出抛物线C1的解析式,即可求出抛物线C1的顶点坐标,
(2)先求出C2的解析式,确定A,B,C的坐标,过点C作CH⊥对称轴DE,垂足为H,利用△PAC为等腰直角三角形,求出角的关系可证得△CHD≌△DEA,再由OC=EH列出方程求解得出m的值,即可得出C2的解析式.
(3)连接BC,BP,由抛物线对称性可知AP=BP,由△PAC为等边三角形,可得AP=BP=CP,∠APC=60°,由C,A,B三点在以点P为圆心,PA为半径的圆上,可得BC=2OC,利用勾股定理求出OB=OC,列出方程求出m的值即可.
试题解析:(1)∵抛物线C1经过原点,与x轴的另一个交点为(2,0),
∴,
解得,
∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x,
∴抛物线C1的顶点坐标(1,﹣1),
(2)如图1,
∵抛物线C1向右平移m(m>0)个单位得到抛物线C2,
∴C2的解析式为y=(x﹣m﹣1)2﹣1,
∴A(m,0),B(m+2,0),C(0,m2+2m),
过点C作CH⊥对称轴DE,垂足为H,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE,
∵∠DEA=90°,
∴△CHD≌△DEA,
∴AE=HD=1,CH=DE=m+1,
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2,
由OC=EH得m2+2m=m+2,解得m1=1,m2=﹣2(舍去),
∴抛物线C2的解析式为:y=(x﹣2)2﹣1.
(3)如图2,连接BC,BP,
由抛物线对称性可知AP=BP,
∵△PAC为等边三角形,
∴AP=BP=CP,∠APC=60°,
∴C,A,B三点在以点P为圆心,PA为半径的圆上,
∴∠CBO=∠CPA=30°,
∴BC=2OC,
∴由勾股定理得OB==OC,
∴(m2+2m)=m+2,
解得m1=,m2=﹣2(舍去),
∴m=.