Question

【题目】阅读材料：

若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则 x1+x2=﹣，x1x2=，我们把这个命题叫做韦达定理，根据上述材料，解决下面问题：

（1）一元二次方程 2x2﹣3x+1=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=( )，x1x2=( ) ；

（2）已 知 实 数 m 、n 满足 m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0 且 m≠n，求+的值；

（3）若 x1，x2总是方程 2x2+4x+m=0 的两个根，求 x12+x22 的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）﹣1；（3）x12+x22的最小值为 2．

【解析】

（1）直接利用韦达定理求解；

（2）利用已知条件可把 m、n 看作方程x2﹣x﹣1=0的两根，利用根与系数的

关系得到 m+n=1，mn=﹣1，而，然后利用整体代入的方法计算；

（3）先利用判别式的意义求出 m≤2，再利用根与系数的关系得到 x1+x2=-2，

x1x2=，由于x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1x2，从而可根据 m 的范围确定x12+x22的最小值．

（1）x1+x2=，x1x2=；

（2）∵实数m、n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0 且m≠n，

∴m、n可看作方程x2-x-1=0的两根，

∴m+n=1，mn=-1，

∴+=-1；

（3）∵△=42﹣4×2×m≥0，

∴m≤2，

根据题意得x1+x2=-2，x1x2=，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4-m，

∵m≤2，

∴4-m≥2，

∴x12+x22的最小值为 2．