题目内容
【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过点A作AD⊥AB交⊙O于点D,交BC于点E,点F在DA的延长线上,且∠ABF=∠C .
(1)求证:BF是⊙O的切线;
(2)若AD=4,cos∠ABF=,求BC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)根据AD⊥AB,可得DB是⊙O的直径,进而得到根据圆周角定理,可得∠ABF=∠C=∠D,最后根据∠D+∠ABD=90°,可得OB⊥BF,即BF是⊙O的切线;
(2)根据AC=AB,可得∠D=∠2=∠ABF,OA⊥BC,BG=CG,进而在△ABD中,求得BD=5,根据勾股定理可得AB==3,最后在△ABG中,根据∠AGB=90°,AD=4,求得BG=AB×cos∠2=
,即可得到BC的长.
试题解析:(1)证明:如图,连接BD
∵AD⊥AB,
∴DB是⊙O的直径,
∴∠D+∠ABD=90°,
又∵∠D=∠C,∠ABF=∠C,
∴∠ABD+∠ABF=90°,
∴OB⊥BF,
∴BF是⊙O的切线;
(2)如图,连接OA,交BC于点G,
∵AC=AB,
∴弧AC=弧AB
∴∠D=∠2=∠ABF,OA⊥BC,BG=CG,
∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=,
在△ABD中,∠DAB=90°,
∴BD==5,
∴AB==3,
在△ABG中,∠AGB=90°,AD=4,
∴BG=AB×cos∠2=,
∴BC=2BG=.

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