题目内容
【题目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系，
②BC，CD，CF之间的数量关系为；
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2
，CD=
BC，求CF，EG.
【答案】(1) ①垂直,②BC=CF+CD;(2) CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,为CD=CF+BC；
(3)CF=5；EG=
.
【解析】
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAH=
, 推出ΔDAB≌ΔFAC, 根据全等三角形的性质即可得到结论; ②由正方形ADEF的性质可推出ΔDAB≌ΔFAC, 根据全等三角形的性质得到CF=BD, ∠ACF=∠ABD, 根据余角的性质即可得到结论;
(2) 根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=, 推出ΔDAB≌ΔFAC, 根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.
(3) 根据等腰直角三角形的性质得到BC=
AB=4, AH=
BC=2, 求得DH=3, 根据正方形的性质得到AD=DE, ∠ADE=, 根据矩形的性质得到NE=CM, EM=CN, 由角的性质得到∠ADH=∠DEM, 根据全等三角形的性质得到EM=DH=3,DM=AH=2, 等量代换得到CN=EM=3, EN=CM=3, 根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.
解：(1)正方形ADEF 中, AD=AF ,
∠BAC=∠DAF=,
∠BAD=∠CAF,
在ΔDAB与ΔFAC中,
∠BAD=∠CAF,AB=AC， AD=AF
ΔDAB≌ΔFAC (SAS),
∠B=∠ACF,
∠ACB+∠ACF=,即 BC⊥CF;
故答案为:垂直;
②ΔDAB≌ΔFAC,
CF=BD,
BC=BD+CD,
BC=CF+CD;
故答案为: BC=CF+CD;
(2)CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
正方形ADEF 中, AD=AF,
∠BAC=∠DAF= ,
∠BAD=∠CAF ,
在ΔDAB与ΔFAC中,
∠BAD=∠CAF ,AB=AC， AD=AF
ΔDAB ≌ΔFAC(SAS),
∠ABD=∠ACF ,
∠BAC=, AB=AC,
∠ACB=∠ABC=
.
∠ABD=
-=
,
∠BCF=∠ACF-∠ACB=-=，
CF⊥BC.
CD=DB+BC , DB=CF ,
CD=CF+BC.
(3)过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N,
∠BAC= , AB=AC,
BC=AB=4,AH=BC=2 ,
CD=
BC=1,CH=BC=2 ,
DH=3,
由(2)证得BC⊥CF, CF=BD=5,
四边形ADEF 是正方形,
AD=DE,∠ADE= ,
BC⊥CF, EM⊥BD, EN⊥CF,
四边形CMEN是矩形,
NE=CM,EM=CN,
∠AHD=∠ADC=∠EMD=,
∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=
∠ADH=∠DEM ,
在ΔADH与ΔDEM中,
∠ADH=∠DEM ,AD=DE, ∠AHD=∠DME
ΔADH≌ΔDEM(AAS),
EM=DH=3 , DM=AH=2,
CN=EM=3, EN=CM=3 ,
在ΔFNE与ΔDME中，
FE=DE,NE=EM,∠FNE=∠DME=
ΔFNE≌ΔDMEZ,FN= DM=2
CF=CN+ DM=5
∠ABC=45 ,∠BGC=45 ,
ΔBCG是等腰直角三角形,
CG=BC=4,
GN=1,
EG=
.
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