Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．

Answer 1

（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．


（2）设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=

1

2

∠BAC=

1

2

×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
设圆半径为r，
则OH=OC•cos30°=

3

2

r，
∵△ABC中BC边上的高为1，
∴AH=OA+OH=r+

3

2

r=1，
解得：r=2（2-

3

），
∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2-

3

）．