Question

如图，抛物线y=ax2+bx+

5

2

与直线AB交于点A（-1，0），B（4，

5

2

）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当D为抛物线顶点时，线段DC的长度是多少？
②设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）由题意得

a-b+ 5 2 =0 16a+4b+ 5 2 = 5 2 .

解得：

a=- 1 2 b=2.

故抛物线解析式为：y=-

1

2

x²+2x+

5

2

；

（2）①∵y=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∴顶点D(2，

9

2

)
设直线AB为：y=kx+b，
则有

-k+b=0 4k+b= 5 2 .

解得

k= 1 2 b= 1 2 .

∴直线解析式为：y=

1

2

x+

1

2

，
当x=2时，y=

1

2

×2+

1

2

=

3

2

，
∴C(2，

3

2

)
∴CD=

9

2

-

3

2

=3，

②由题意可得：D（m，-

1

2

m2+2m+

5

2

），C（m，

1

2

m+

1

2

），
CD=（-

1

2

m2+2m+

5

2

）-（

1

2

m+

1

2

）
=-

1

2

m2+

3

2

m+2．
∴S=

1

2

(m+1)•CD+

1

2

(4-m)•CD
=

1

2

×5×CD
=

1

2

×5×（-

1

2

m2+

3

2

m+2）
=-

5

4

m²+

15

4

m+5
=-

5

4

（m-

3

2

）²+

125

16

．
∵-

5

4

＜0，
∴当m=

3

2

时，S最大值为

125

16

．