Question

【题目】已知，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）求三角形ABC的面积S△ABC；
（2）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令 中x=0，得点B坐标为（0，2）；

令y=0，得点A坐标为（3，0）．

由勾股定理可得 ，

所以S△ABC=6.5；

（2）解：不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=2为底，点P到y轴的距离1为高，

所以S△BOP=1为常数；

（3）解：当点P在第四象限时，

因为 ，S△BOP=1，

所以 ，

即3﹣ a﹣1= ，解得a=﹣3，

当点P在第一象限时，

∵S△ABO=3，S△APO= a，S△BOP=1，

∴S△ABP=S△BOP+S△AOP﹣S△ABO= ，

即1+ a﹣3= ，

用类似的方法可解得 ．

【解析】（1）先求出A、B两点的坐标，利用勾股定理得到AB的长，等腰Rt△ABC的面积为AB平方的一半；（2）三角形BOP的底边BO=2，BO边上的高为P点的横坐标1，所以它的面积是一个常数1；（3）实际上给定△ABP的面积，求P点坐标．利用面积和差求△ABP的面积，注意要分类讨论．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质和三角形的面积的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；三角形的面积=1/2×底×高才能正确解答此题．