Question

【题目】如图，已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值；
（2）求抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（3）在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵抛物线E1经过点A（1，m）
∴m=12=1
（2）∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a≠0）
又∵点B（2，2）在抛物线E2上
∴2=a×22 ， 解得：a=
∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x2
（3）如图所示：

①当点B为直角顶点时，过B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于Q，则点Q1与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4，
∴点Q1的坐标为（2，4）．
②当点Q2为直角顶点时，则有Q2B′2+Q2B2=B′B2 ， 过点Q2作GQ2⊥BB′于G，设点Q2的坐标为（t，t2）（t＞0），则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4，
整理得：t4﹣3t2=0，
∵t＞0，
∴t2﹣3=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），
∴点Q的坐标为（，3），
综上所述，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）．
【解析】（1）将A（1，m）代入y=x2 ， 求得m的值即可；
（2）设抛物线E2的函数表达式为y=ax2（a≠0），将点B（2，2）代入抛物线的解析式求得a的值即可；
（3）当∠BB′Q=90°时，将x=2代入y=x2 ， 可求得点Q的纵坐标，当∠BQB′=90°时，设点Q2的坐标为（t，t2），依据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理列出关于t的方程求解即可．