Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

Answer 1

解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax²+bx+3上，
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：y=﹣x²+2x+3。
（2）在抛物线解析式y=﹣x²+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）。
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得。
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。
设E点坐标为（x，﹣x²+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3）。
∴EF=y_E﹣y_F=﹣x²+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x²+3x。
∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF=OD=2。
∴﹣x²+3x=2，即x²﹣3x+2=0，解得x=1或x=2。
∴P点坐标为（1，0）或（2，0）。
（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积。

①当P（1，0）时，点F坐标为（1，2），
又D（0，2），
设对角线DF的中点为G，则G（，2）。
设直线AG的解析式为y=k₁x+b₁，
将A（﹣1，0），G（，2）坐标代入得：，解得。
∴所求直线的解析式为：。
②当P（2，0）时，点F坐标为（2，1），又D（0，2）。
设对角线DF的中点为G，则G（1，）。
设直线AG的解析式为y=k₂x+b₂，
将A（﹣1，0），G（1，）坐标代入得：，解得。
∴所求直线的解析式为。
综上所述，所求直线的解析式为或。

解析试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标。
（3）利用中心对称的性质求解：平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积。