Question

【题目】如图1，抛物线C：y=x2经过变化可得到抛物线C1：y1=a1x（x﹣b1），C1与x轴的正半轴交与点A1 ， 且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1 ， D1 ， 此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线C1：y1=a1x（x﹣b1）经过变换可得到抛物线C2：y2=a2x（x﹣b2），C2与x轴的正半轴交与点A2 ， 且其对称轴分别交抛物线C1 ， C2于点B2 ， D2 ， 此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C3：y3=a3x（x﹣b3）与正方形OB3A3D3 ． 请探究以下问题：

（1）填空：a1= ， b1=；
（2）求出C2与C3的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线Cn：yn=anx（x﹣bn）与正方形OBnAnDn（n≥1）．
①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y2015与y2016的函数值的大小并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）1；2
（2）

解：y2=0时，a2x（x﹣b2）=0，

x1=0，x2=b2，

∴A2（b2，0），

由正方形OB2A2D2得：OA2=B2D2=b2，

∴B2（ ， ），

∵B2在抛物线c1上，则 =（ ）2﹣2× ，

b2（b2﹣6）=0，

b2=0（不符合题意），b2=6，

∴D2（3，﹣3），

把D2（3，﹣3）代入C2的解析式：﹣3=3a2（3﹣6），a2= ，

∴C2的解析式：y2= x（x﹣6）= x2﹣2x，

y3=0时，a3x（x﹣b3）=0，

x1=0，x2=b3，

∴A3（b3，0），

由正方形OB3A3D3得：OA3=B3D3=b3，

∴B3（ ， ），

∵B3在抛物线C2上，则 = （ ）2﹣2× ，

b3（b3﹣18）=0，

b3=0（不符合题意），b3=18，

∴D3（9，﹣9），

把D3（9，﹣9）代入C3的解析式：﹣9=9a3（9﹣18），a3= ，

∴C3的解析式：y3= x（x﹣18）= ﹣2x；

（3）

解：①Cn的解析式：yn= x2﹣2x（n≥1）．

②由上题可得抛物线C2015的解析式为：y2015= x2﹣2x，

抛物线C2016的解析式为：y2016= x2﹣2x，

∴两抛物线的交点为（0，0）；

∴当x＜0时，y2015＜y2016；当x＞0时，y2015＞y2016．

【解析】解：（1）y1=0时，a1x（x﹣b1）=0，
x1=0，x2=b1 ，
∴A1（b1 ， 0），
由正方形OB1A1D1得：OA1=B1D1=b1 ，
∴B1（ ， ），D1（ ，﹣ ），
∵B1在抛物线c上，则 = ，
b1（b1﹣2）=0，
b1=0（不符合题意），b1=2，
∴D1（1，﹣1），
把D1（1，﹣1）代入y1=a1x（x﹣b1）中得：﹣1=﹣a1 ，
∴a1=1，
故答案为：1，2；
（1）求与x轴交点A1坐标，根据正方形对角线性质表示出B1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b1的值，写出D1的坐标，代入y1的解析式中可求得a1的值；（2）求与x轴交点A2坐标，根据正方形对角线性质表示出B2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b2的值，写出D2的坐标，代入y2的解析式中可求得a2的值，写出抛物线C2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C3的解析式；（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出an=a1=1，由B1坐标（1，1）、B2坐标（3，3）、B3坐标（7，7）得Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1），则bn=2（2n﹣1）=2n+1﹣2（n≥1），写出抛物线Cn解析式．②先求抛物线C2015和抛物线C2016的交点为（0，0），在交点的两侧观察图形得出y2015与y2016的函数值的大小．