Question

如图，在直角坐标系中，，，以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD.

（1）求C、M两点的坐标；
（2）连结CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）C（8，10），M（0，4）；（2）相切；（3），

试题分析：（1）因为ABCD为正方形，且边长为10，所以易得C点坐标；连接PM，根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标；
（2）根据CM、PM、PC的长判定△PCM为直角三角形，得∠PMC=90°，从而判断相切；
（3）因CM长度固定，要使△QMC周长最小，只需PM+PC最小．作M关于x轴的对称点M′，连接CM′，交x轴于Q点，根据对称性及两点之间线段最短说明存在Q点．
（1）∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴AB=10，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10），
连接MP，PC，

在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）；
（2）在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100，
∵100+25=125，
∴在△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM与⊙P相切．
（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周长最小，即要使MQ+QC最小．故作M关于x轴对称点M’，连CM’交x轴于点Q，连MQ，此时，△QMC周长最小．

∵C（8，10），M'（0，﹣4），
设直线CM'：y=kx+b（k≠0）
∴，解得 
∴．
∴Q（，0）
∵x轴垂直平分MM’，
∴QM=QM'，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M'C．
在△CEM'中，CE=8，EM'=14
∴
∴△QMC周长最小值为．
∴存在符合题意的点Q，且
此时△QMC周长最小值为．
点评：解答本题的关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时熟练掌握两点之间线段最短在求三角形周长最短中的应用。