题目内容
【题目】如图,△ABC中,∠B=∠C=30°,点D是BC边上一点,以AD为直径的⊙O恰与BC边相切,⊙O交A B于E,交AC于F.过O点的直线MN分别交线段BE和CF于M,N,若AM:MB=3:5,则FC:AF的值为( )
A.3:1 B.5:3 C.2:1 D.5:2
【答案】A
【解析】
试题分析:根据题意,利用特殊角度建立AN与半径、NC与半径之间的关系,从而求解.根据切线性质,判断出AD⊥BC,根据∠B=∠C=30°,判断出AB=AC,灵活运用等腰三角形的性质和勾股定理解答.
∵∠B=∠C=30°,⊙O恰与BC边相切,AD⊥BC,
∴AB=AC=2AD=2×2r=4r;
连接OE,则OE=OA,
又∵∠BAD=(180°-30°-30°)÷2=60°,
∴OA=AE=OE=r,AB=2AD=4r,
易证△OFN~△MAN,则有OFMA=FNAN,
又OF=r,MA=3×4r5+3=3r2,FN=AN-r;
解得AN=3r,又AC=AB=4r,则NC=4r- -3r=r;
所以AN:NC=3:1,
故选A.
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