Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+2与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B．点M在线段AB上，其横坐标为m，PM∥y轴，与抛物线交点为点P，PQ∥x轴，与抛物线交点为点Q

（1）求a的值、并写出此抛物线顶点的坐标；

（2）求m为何值时，△PMQ为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣，y＝﹣x2+x+2，顶点（1，）；（2）m=6﹣2或2﹣2

【解析】

（1）将A（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+2求出a的值，然后将二次函数的一般式化为顶点式即可求出顶点坐标；

（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，设P（m，﹣m2+m+2），M（m，m+2），从而求出PM，分两种情况讨论当0＜m≤1时和当1＜m＜4时，分别利用二次函数的对称性用含m的式子表示出PQ，然后利用PM=PQ列方程即可求出m的值．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+2与x轴交于点A（4，0），

∴16a+×4+2＝0，

解得a＝﹣，

∴此抛物线解析式y＝﹣x2+x+2，

化为顶点式y＝﹣（x-1）2+

∴顶点坐标为（1，）．

（2）∵y＝﹣x2+x+2，

∴B（0，2），

∵A（4，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b

将A、B两点坐标代入，得

解得：

∴直线AB：y＝x+2，

设P（m，﹣m2+m+2），M（m，m+2），

∴PM＝，

∵PM∥y轴，PQ∥x轴

∴PM⊥PQ

当0＜m≤1时，PQ＝2﹣2m，

∴＝2﹣2m，

解得m＝6﹣2或6+2（不符合题意舍去）；

当1＜m＜4时，PQ＝﹣2+2m，

∴＝﹣2+2m，

解得m＝2﹣2或﹣2﹣2（不符合题意舍去）．

综上，m为6﹣2或2﹣2时，△PMQ为等腰直角三角形．