题目内容

【题目】如图,在CBD中,CD=BD,CDBD,BE平分CBA交CD于点F,CEBE垂足是E,CE与BD交于点A.求证:

(1)BF=AC;

(2)BE是AC的中垂线;

(3)若AD=2,求AB的长.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)4+2

【解析】

(1) CDABBEAC,可得BDF=ADC=AEB=90°,DBF=DCA,继而证明出△BDF≌△CDA可得结论;

(2) BE平分∠ABC,可证∠A=BCA,BC=BA ,CE=EA可得结论;

(3) 由(1)BDF≌△CDA,可得各边的长,可求出AB的长.

(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,

∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°,

∵∠DBF+∠A=90°,∠DCA+∠A=90°,

∴∠DBF=∠DCA,

∵BD=CD,

∴△BDF≌△CDA(SAS),

∴BF=AC.

(2)证明:BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,

∵∠BEA=∠BEC=90°,

∴∠A+∠ABE=90°,∠BCA+∠CBE=90°,

∴∠A=∠BCA,

∴BC=BA,

∵BE⊥AC,

∴CE=EA,

BE是AC的中垂线.

(3)解:连接AF.

∵△BDF≌△CDA,

∴AD=DF=2,AF=2

BE垂直平分AC,

∴CF=AF=2

∴BD=CD=2+2

∴AB=BD+AD=4+2

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