Question

如图，⊙O的直径AB，C为圆周上一点，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E，连接EA、EC．
（1）求证：CA=CE；
（2）若AB=4，AC=2，求ED的长．

Answer 1

（1）证明：∵l与⊙O的相切于C点，
∴OC⊥l，
∵BD⊥l，
∴OC∥BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BD⊥AE，
∴OC⊥AE，
∴CA弧=CE弧，
∴CA=CE；
（2）连结BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DEC=∠CAB，
∴△CDE∽△BCA，
∴DE：AC=CE：AB，
而CE=CA=2，
∴DE：2=2：4，
∴ED=1．
分析：（1）根据切线的性质得到OC⊥l，而BD⊥l，则OC∥BD，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，即BD⊥AE，所以OC⊥AE，根据垂径定理得到CA弧=CE弧，所以CA=CE；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据圆内接四边形的性质得到∠DEC=∠CAB，则△CDE∽△BCA，然后根据相似比DE：AC=CE：AB可计算出DE．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理以及三角形相似的判定与性质．