Question

【题目】如图1，和都是等腰直角三角形，，在线段上，连接，的延长线交于．

（1）猜想线段、的关系；（不必证明）

（2）当点为内部一点时，使点和点分别在的两侧，其它条件不变．请你在图2中补全图形，则（1）中结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE⊥AD；（2）（1）中结论仍然成立．

【解析】

（1）证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）根据题意补全图形，然后证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得.

（1）BE=AD，BE⊥AD，理由如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴BC=AC，EC=DC，

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，

∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠CBE+∠ADC=90°，

∴∠BFD=90°，

∴BE⊥AD；

（2）如图所示，（1）中结论仍然成立，证明如下：

∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

∴BC=AC，EC=DC，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠BCE=∠ACD.

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴BE⊥AD.