Question

【题目】如图，正方形的边长为，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，则下列结论：①≌；②；③∥；④与的面积相等；⑤，其中正确的个数是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

结合条件可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，在Rt△EGC中由勾股定理可求得BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，利用外角的性质可求得∠AGB=∠GCF，可得AG∥CF，可求得S△EGC=S△AFE=6，利用多边形的内角和可求得2∠AGB+2∠AED=270°，可得∠AGB+∠AED=135°，所以五个结论都正确．

由正方形的边长为，点在边上，且，

则有DE=2，CE=4，AB=BC=AD=6，

∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2，

在Rt△ABG和Rt△AFG中

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；

∴BG=CF，∠BGA=∠FGA，

设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，

由勾股定理可得（x+2）2=x2+42，

解得x=3，此时BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，∴②正确；

∵GC=GF，

∴∠GFC=∠GCF，

且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，

∴2∠AGB=2∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

∴AG∥CF，∴③正确；

∵S△EGC=GCCE=×3×4=6，S△AFE=AFEF=×6×2=6，

∴S△EGC=S△AFE，∴④正确；

在五边形ABGED中，

∠BGE+∠GED=540°-90°-90°-90°=270°，

即2∠AGB+2∠AED=270°，

∴∠AGB+∠AED=135°，∴⑤正确，

∴正确的有五个，

故选A．