Question

【题目】二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1， ）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数图象的顶点在原点O，

∴设二次函数的解析式为y=ax2，

将点A（1， ）代入y=ax2得：a= ，

∴二次函数的解析式为y= x2

（2）

证明：∵点P在抛物线y= x2上，

∴可设点P的坐标为（x， x2），

过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=| x2﹣1|，PB=|x|，

∴Rt△BPF中，

PF= = x2+1，

∵PM⊥直线y=﹣1，

∴PM= x2+1，

∴PF=PM，

∴∠PFM=∠PMF，

又∵PM∥y轴，

∴∠MFH=∠PMF，

∴∠PFM=∠MFH，

∴FM平分∠OFP

（3）

解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，

∴∠FMH=30°，

在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，

∵PF=PM=FM，

∴ x2+1=4，

解得：x=±2 ，

∴ x2= ×12=3，

∴满足条件的点P的坐标为（2 ，3）或（﹣2 ，3）

【解析】（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2 ， 将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x， x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．