题目内容
【题目】二次函数图象的顶点在原点O,经过点A(1, );点F(0,1)在y轴上.直线y=﹣1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P是(1)中图象上的点,过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M,求证:FM平分∠OFP;
(3)当△FPM是等边三角形时,求P点的坐标.
【答案】
(1)
解:∵二次函数图象的顶点在原点O,
∴设二次函数的解析式为y=ax2,
将点A(1, )代入y=ax2得:a= ,
∴二次函数的解析式为y= x2
(2)
证明:∵点P在抛物线y= x2上,
∴可设点P的坐标为(x, x2),
过点P作PB⊥y轴于点B,则BF=| x2﹣1|,PB=|x|,
∴Rt△BPF中,
PF= = x2+1,
∵PM⊥直线y=﹣1,
∴PM= x2+1,
∴PF=PM,
∴∠PFM=∠PMF,
又∵PM∥y轴,
∴∠MFH=∠PMF,
∴∠PFM=∠MFH,
∴FM平分∠OFP
(3)
解:当△FPM是等边三角形时,∠PMF=60°,
∴∠FMH=30°,
在Rt△MFH中,MF=2FH=2×2=4,
∵PF=PM=FM,
∴ x2+1=4,
解得:x=±2 ,
∴ x2= ×12=3,
∴满足条件的点P的坐标为(2 ,3)或(﹣2 ,3)
【解析】(1)根据题意可设函数的解析式为y=ax2 , 将点A代入函数解析式,求出a的值,继而可求得二次函数的解析式;(2)过点P作PB⊥y轴于点B,利用勾股定理求出PF,表示出PM,可得PF=PM,∠PFM=∠PMF,结合平行线的性质,可得出结论;(3)首先可得∠FMH=30°,设点P的坐标为(x, x2),根据PF=PM=FM,可得关于x的方程,求出x的值即可得出答案.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点,以及对等边三角形的性质的理解,了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.