Question

【题目】将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（ ，0），点B（0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．

（1）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（2）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（3）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABO中，点A（ ，0），点B（0，1），点O（0，0），

∴OA= ，OB=1，

由OM=m，可得：AM=OA﹣OM= ﹣m，

根据题意，由折叠可知△BMN≌△AMN，

∴BM=AM= ﹣m，

在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，

可得： ，解得m= ，

∴点M的坐标为（ ，0）；

（2）

解：在Rt△ABO中，tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，

∴在Rt△AMN中，MN=ANsin∠OAB= ，

AN=ANcos∠OAB= ，

∴ ，

由折叠可知△A'MN≌△AMN，则∠A'=∠OAB=30°，

∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，

∴在Rt△COM中，可得CO=OMtan∠A'MO= m，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

即 ；

（3）

解：①当点A′落在第二象限时，把S的值代入（2）中的函数关系式中，解方程求得m，根据m的取值范围判断取舍，两个根都舍去了；

②当点A′落在第一象限时，则S=SRt△AMN，根据（2）中Rt△AMN的面积列方程求解，根据此时m的取值范围，把S= 代入，可得点M的坐标为（ ，0）．

【解析】（1）根据折叠的性质得出BM=AM，再由勾股定理进行解答即可；（2）根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN，△COM和△ABO的面积，进而表示出S的代数式即可；（3）把S= 代入解答即可．
【考点精析】关于本题考查的翻折变换（折叠问题），需要了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能得出正确答案．