题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6),且与直线y=x+1相交于A,B两点,点A在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,求线段PE的最大值;
(3)在(2)的条件,设PC与AB相交于点Q,当线段PC与BE相互平分时,请求出点Q的坐标.
【答案】(1)y=-x2+x+1;(2)4;(3)(,),(,).
【解析】
试题分析:(1)根据题意得出B点坐标,再利用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)首先表示出P,E点坐标,再利用PE=PD-ED,结合二次函数最值求法进而求出PE的最大值;
(3)根据题意可得:PE=BC,则-x2+4x=3,进而求出Q点的横坐标,再利用直线上点的坐标性质得出答案.
试题解析:(1)∵BC⊥x轴,垂足为点C(4,0),且点B在直线y=x+1上,
∴点B的坐标为:(4,3),
∵抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6)和点B(4,3),
∴,
解得:,
故抛物线的解析式为:y=-x2+x+1;
(2)如图所示:设动点P的坐标为;(x,-x2+x+1),
则点E的坐标为:(x, x+1),
∵PD⊥x轴于点D,且点P在x轴上,
∴PE=PD-ED=(-x2+x+1)-(x+1)
=-x2+4x
=-(x-2)2+4,
则当x=2时,PE的最大值为:4;
(3)∵PC与BE互相平分,
∴PE=BC,
∴-x2+4x=3,即x2-4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3,
∵点Q分别时PC,BE的中点,且点Q在直线y=x+1,
∴①当x=1时,点Q的横坐标为:,
∴点Q的坐标为:(,),
②当x=3时,点Q的横坐标为:,
∴点Q的坐标为:(,),
综上所述,点Q的坐标为:(,),(,).