题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6),且与直线y=x+1相交于A,B两点,点A在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(4,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,求线段PE的最大值;

(3)在(2)的条件,设PC与AB相交于点Q,当线段PC与BE相互平分时,请求出点Q的坐标.

【答案】(1)y=-x2+x+1;(2)4;(3)),().

【解析】

试题分析:(1)根据题意得出B点坐标,再利用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)首先表示出P,E点坐标,再利用PE=PD-ED,结合二次函数最值求法进而求出PE的最大值;

(3)根据题意可得:PE=BC,则-x2+4x=3,进而求出Q点的横坐标,再利用直线上点的坐标性质得出答案.

试题解析:(1)∵BC⊥x轴,垂足为点C(4,0),且点B在直线y=x+1上,

∴点B的坐标为:(4,3),

∵抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6)和点B(4,3),

解得:

故抛物线的解析式为:y=-x2+x+1;

(2)如图所示:设动点P的坐标为;(x,-x2+x+1),

则点E的坐标为:(x, x+1),

∵PD⊥x轴于点D,且点P在x轴上,

∴PE=PD-ED=(-x2+x+1)-(x+1)

=-x2+4x

=-(x-2)2+4,

则当x=2时,PE的最大值为:4;

(3)∵PC与BE互相平分,

∴PE=BC,

∴-x2+4x=3,即x2-4x+3=0,

解得:x1=1,x2=3,

∵点Q分别时PC,BE的中点,且点Q在直线y=x+1,

∴①当x=1时,点Q的横坐标为:

∴点Q的坐标为:(),

②当x=3时,点Q的横坐标为:

∴点Q的坐标为:(),

综上所述,点Q的坐标为:(),().

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