题目内容
【题目】四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 AC上的两个动点，分别从 A，C 同时出发， 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．
（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形．
（2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．
（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为菱形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当 t 为0.5s或4.5s时，四边形 EGFH 为矩形；
（3）t为
s时，四边形EGFH为菱形.
【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出结论；
（2）先证明四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，当对角线EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；
（3）连接AG、CH，由菱形的性质得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，证出四边形AGCH是菱形，得出AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=
，即可得出t的值．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC=
=5，∠GAF=∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
在△AFG和△CEH中，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）由（1）得：BG=CH，BG∥CH，
∴四边形BCHG是平行四边形，
∴GH=BC=4，当EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4，解得：t=0.5；
②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4，解得：t=4.5；
综上所述：当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH为矩形．
（3）连接AG、CH，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
∴OA=OC，AG=AH，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG=CG，
设AG=CG=x，则BG=4﹣x，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2，即32+（4﹣x）2=x2，
解得：x=
，
∴BG=4﹣
=
，
∴AB+BG=3+
=
，
即t为
s时，四边形EGFH为菱形．
