Question

如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径画弧

AC

，E是AB上的一动点，过E作

AC

的切线交BC于点F，切点为G，连GC，过G作GC的垂线交AD与N，交CD的延长线于M．
（1）求证：AE=EG，GF=FC；
（2）设AE=x，用含x的代数式表示FC的长；
（3）在图中，除GF以外，是否还存在与FC相等的线段，是哪些？试证明或说明理由；
（4）当△GDN是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）由于EA、EF、FC都是圆D的切线，且A、G、C是切点，
因此根据切线长定理，可得出AE=EG，GF=FC；

（2）设FC=t，BE=1-x，BF=1-t，EF=x+t，
在直角三角形BEF中，（1-x）²+（1-t）²=（x+t）²，
解出t=

1-x

1+x

，
∴FC=

1-x

1+x

；

（3）存在，ND=FC，GF是⊙D的切线，
∴∠DGF=90°，
连DF，那么DF平分弧GC，且DF⊥CG，
∵∠FCG=90°-∠GCD，∠GMC=90°-∠GCD，
∴∠FCG=∠GMC，
∵∠MDN=∠DCF=90°，MD=DC，
∴△MDN≌△DCF，
∴DN=FC；

（4）当△GDN是等腰三角形时，只能有GN=ND，
∴△GDN≌△GFC，
∴GD=DC=CG，∠DGC=60°，ND=MDtan30°=

3

3

=

1-x

1+x

，
∴x=2-

3

．