题目内容
【题目】如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是⊙O的切线.
【答案】(1)2(2)见解析
【解析】解:(1)连接OB,
∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,
∴弧BC与弧AC的度数为:60°。∴∠BOC=60°。
∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形。
∵OC =2,∴BC=OC=2。
(2)证明:∵OC=CP,BC=OC,∴BC=CP。
∴∠CBP=∠CPB。
∵△OBC是等边三角形,∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB⊥BP。
∵点B在⊙O上,∴PB是⊙O的切线。
(1)连接OB,由弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,易证得△OBC是等边三角形,则可求得BC的长。
(2)由OC=CP=2,△OBC是等边三角形,可求得BC=CP,即可得∠P=∠CBP,又由等边三角形的性质,∠OBC=60°,∠CBP=30°,则可证得OB⊥BP,从而证得PB是⊙O的切线。
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