Question

如图，⊙M过坐标原点O，分别交两坐标轴于A（1，O），B（0，2）两点，直线CD交x轴于点C（6，0），交y轴于点D（0，3），过点O作直线OF，分别交⊙M于点E，交直线CD于点F．
（1）求证：∠CDO=∠BAO；
（2）求证：OE•OF=OA•OC；
（3）若OE=，试求点F的坐标．

D

D

 

Answer 1

(1)证明见解析
证明见解析
F的坐标为：（2，2）或（，）．

试题分析：（1）由已知可得tan∠CDO=tan∠BAO所以∠CDO=∠BAO，
（2）连接AE，由圆周角相等则有∠AEO=∠ABO，由（1）则有∠AEO=∠OCD则有△OCF∽△OEA．再利用比例式即可证得．
（3）由（2）可求得OF的长度，因为点F要直线CD上，则可设F（x，y），则可得到关于x，y的方程组，解方程组即可得出点F的坐标
试题解析：（1）如图：∵C（6，0），D（0，3），
∴tan∠CDO==2，
∵A（1，O），B（0，2），
cot∠BAO==2，
∴∠CDO=∠BAO，
（2）如图，连接AE，

由（1）知∠CDO=∠BAO，
∴∠OCD=∠OBA，
∵∠OBA=∠OEA，
∴∠OCD=∠OEA，
∴△OCF∽△OEA，
∴
∴OE•OF=OA•OC；
（3）由（2）得OE•OF=OA•OC，
∵OA=1，0C=6，OE=，
∴OF=
设F（x，y）
∴x²+y²=8，
∵直线CD的函数式为：y=﹣x+3
∴组成的方程组为，
解得或
∴F的坐标为：（2，2）或（，）．