Question

已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD=2PA．
小题1:证明：直线PB是⊙O的切线；
小题2:探索线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
小题3:求sin∠OPA的值．

Answer 1

小题1:连结OB．∵BC//OP，      ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB．
又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO，   ∴∠POB=∠POA．
又∵PO=PO，OB=OA，           ∴△POB≌△POA．
∴∠PBO=∠PAO=90°．          ∴PB是⊙O的切线．
小题1:2PO=3BC（写PO=BC亦可）．
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO．
∴．∴2PO=3BC．
注：开始没有写出判断结论，正确证明也给满分．

小题1:∵△DBC∽△DPO，∴，即DC=OD．∴DC=2OC．
设OA=x，PA=y．则OD=3x，DB=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)²= x²+(2y)²．即2 x²= y²．
∵x>0，y>0，∴y=x．OP=．
∴sin∠OPA=．

根据切线定理证明圆的切线，有关计算的依据是三角形相似和勾股定理。