Question

（2011贵州六盘水，25，16分）如图10所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB＝4。将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上。
（1）在图10所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长。
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0<t<3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t（0<t<3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标。

Answer 1

解（1）
据题意，△AOE≌△ADE
∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90⁰，AD＝AO＝3
在Rt△AOB中，

设DE＝OE＝x
在Rt△BED中
BD²＋DE²＝BE²
即2²＋x²＝（4－x）²
解得
∴E（0，）
在Rt△AOE中

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE＝90⁰
∴四边形PMND是矩形
∵AP＝t×1＝t
∴PD＝3－t
∵△AMP∽△AED
∴
∴PM＝
∴
∴或
当时

（3）△ADM为等腰三角形有以下二种情况
①当MD＝MA时，点P是AD中点

∴
∴（秒）
∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形
过点M作MF⊥OA于F
∵△APM≌△AFM
∴AF＝AP＝，MF＝MP＝
∴OF＝OA－AF＝3－
∴M（，）
②当AD＝AM＝3时

△AMP∽△AED
∴
∴
∴
∴（秒）
∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形
过点M作MF⊥OA于F
∵△AMF≌△AMP
∴AF＝AP＝，FM＝PM＝
∴OF＝OA－AF＝3－
∴M（，）

略