Question

【题目】如图，点、在线段上，且，点是线段的中点，点是线段上的一点，且．

（1）若点是线段的中点，求的长；

（2）若点是线段的三等分点，求的长．

Answer 1

【答案】（1）14；（2）或.

【解析】

（1）设AB=2x，则BC=3x，CD=4x．根据线段中点的性质求出MC、CN，列出方程求出x，计算即可；

（2）分两种情况：①当N在CD的第一个三等分点时，根据MN=9，求出x的值，再根据BD=BC+CD求出结果即可；②当N在CD的第二个三等分点时，方法同①.

设AB=2x，则BC=3x，CD=4x．

∴AC=AB+BC=5x，

∵点M是线段AC的中点，

∴MC=2.5x，

∵点N是线段CD的中点，

∴CN=2x，

∴MN=MC+CN=2.5x+2x=4.5x

∵MN=9，

∴4.5x=9，解得x=2，

∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=14.

（2）情形1：当N在CD的第一个三等分点时，CN=，

∴MN=MC+CN=

解得，，

∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=;

情形2：当当N在CD的第二个三等分点时，CN=，

∴MN=MC+CN=

解得，，

∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=;

故BD 的长为或.