题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.

1猜想:线段OD与BC有何数量和位置关系,并证明你的结论.

2求证:PC是⊙O的切线

【答案】

1】见解析

2】见解析

【解析】(1)由已知得出OD是△ABC的中位线,从而得出结论

(2) 连接OC,证得△OAP≌△OCP,得出∠OCP∠OAP,从而得出结论

(1)猜想:OD∥BC,CDBC.

证明:∵OD⊥AC,

∴ADDC

∵AB是⊙O的直径,

∴OAOB

∴OD是△ABC的中位线,

∴OD∥BC,ODBC

(2)证明:连接OC,设OP与⊙O交于点E.

∵OD⊥AC,OD经过圆心O,

,即∠AOE∠COE

在△OAP和△OCP中,

∵OAOC,OPOP,

∴△OAP≌△OCP,

∴∠OCP∠OAP

∵PA是⊙O的切线,

∴∠OAP90°.

∴∠OCP90°,即OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线.

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