题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.
【1】猜想:线段OD与BC有何数量和位置关系,并证明你的结论.
【2】求证:PC是⊙O的切线
【答案】
【1】见解析
【2】见解析
【解析】(1)由已知得出OD是△ABC的中位线,从而得出结论
(2) 连接OC,证得△OAP≌△OCP,得出∠OCP=∠OAP,从而得出结论
(1)猜想:OD∥BC,CD=BC.
证明:∵OD⊥AC,
∴AD=DC
∵AB是⊙O的直径,
∴OA=OB
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥BC,OD=BC
(2)证明:连接OC,设OP与⊙O交于点E.
∵OD⊥AC,OD经过圆心O,
∴,即∠AOE=∠COE
在△OAP和△OCP中,
∵OA=OC,OP=OP,
∴△OAP≌△OCP,
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线,
∴∠OAP=90°.
∴∠OCP=90°,即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线.

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