题目内容
【题目】综合与实践
如图,为等腰直角三角形,
,点
为斜边
的中点,
是直角三角形,
.
保持不动,将
沿射线
向左平移,平移过程中点
始终在射线
上,且保持
直线
于点
,
直线
于点
.
(1)如图1,当点与点
重合时,
与
的数量关系是__________.
(2)如图2,当点在线段
上时,猜想
与
有怎样的数量关系与位置关系,并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点在
的延长线上时,连接
,若
,则
的长为__________.
【答案】(1);(2)
,
,见解析;(3)
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质证明OA=OC,∠A=∠C,然后证明 ≌
即可得到OE=OF;
(2)根据等腰直角三角形的性质证明OA=OB,∠A=∠OBF,利用矩形的判定证明PEBF是矩形,从而得到BF=AE,于是可证明 ≌
,即可得到
,
;
(3)同(2)类似,证明,
,然后根据勾股定理即可求出EF的长.
解:(1)=
,理由如下:
∵为等腰直角三角形,
,点
为斜边
的中点,
∴OA=OC,∠A=∠C,
∵,
,
∴,
∴ ≌
,
∴.
故答案是:.
(2),
,理由如下:
如图2,连接OB,
∵为等腰直角三角形,点
为斜边
的中点,
∴OA=OB,∠A=∠OBF=, ∠AOB=
,
∵,
∴∠A=∠APE=,
∴AE=PE,
∵,
,
,
∴PEBF是矩形,
∴BF=PE,
∴BF=AE,
在 和
中,
,
∴ ≌
,
∴,
,
∴,
∴.
故答案是:,
.
(3)如图3,连接EF、OB,
∵为等腰直角三角形,点
为斜边
的中点,
∴OA=OB,∠BAO=∠OBC=, ∠AOB=
,
∴∠EAO=∠OBF=,
∵,
∴∠APE=∠PAE=,
∴AE=PE,
∵,
,
,
∴PEBF是矩形,
∴BF=PE,
∴BF=AE,
在 和
中,
,
∴ ≌
,
∴,
,
∴,
∴.
∴是等腰直角三角形,
∵OE=1,
∴EF=.
故答案是:.

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