Question

如图，抛物线y=

3

3

(x2+3x-4)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、点C的坐标；
（2）求点O到AC的距离；
（3）若点P为抛物线上一点，以2为半径作⊙P，当⊙P与直线AC相切时，求点P的横坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点A的坐标，令x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AC的长度，再根据△AOC的面积，列式求解即可得到点O到AC的距离；
（3）利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据点O到AC的距离为2可知点P在过点O与AC平行的直线上，求出直线PO的解析式，再与抛物线解析式联立消掉y，解关于x的一元二次方程即可得到点P的横坐标．

解答：解：（1）令y=0，则

3

3

（x²+3x-4）=0，
整理得，x²+3x-4=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
所以，点A的坐标为（-4，0），
令x=0，则y=-4×

3

3

=-

4 3

3

，
所以，点C的坐标为（0，-

4 3

3

）；

（2）∵点A（-4，0），C（0，-

4 3

3

），
∴OA=4，OC=

4 3

3

，
根据勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

，
设点O到AC的距离为h，
则S_△AOC=

1

2

OA•OC=

1

2

AC•h，
即

1

2

×4×

4 3

3

=

1

2

×

8 3

3

h，
解得h=2，
所以，点O到AC的距离为2；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线经过点A（-4，0），C（0，-

4 3

3

），
∴

-4k+b=0 b=- 4 3 3

，
解得

k=- 3 3 b=- 4 3 3

，
∴直线AC的解析式为y=-

3

3

x-

4 3

3

，
∵点O到AC的距离为2，
∴点P在过点O与AC平行的直线y=-

3

3

x上，
联立

y= 3 3 (x2+3x-4) y=- 3 3 x

，
消掉未知数y得，

3

3

（x²+3x-4）=-

3

3

x，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2-2

2

，x₂=-2+2

2

，
所以，点P的横坐标为：-2-2

2

或-2+2

2

．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，三角形的面积，联立两函数解析式求交点坐标，（3）判断出点P在过点O与AC平行的直线上是解题的关键．