题目内容
如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)设△APQ的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?S的最大值是多少?
(2)如图乙,连接PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时,求t的值;′
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形?

(1)设△APQ的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?S的最大值是多少?
(2)如图乙,连接PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时,求t的值;′
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形?

(1)当t为
秒时,S最大值为
cm2;
当四边形PQP′C为菱形时,t的值是s;
当t为
s或
s或
s时,△APQ是等腰三角形.


当四边形PQP′C为菱形时,t的值是s;

当t为



试题分析:
(1)过点P作PH⊥AC于H,由△APH∽△ABC,得出








(2)连接PP′交QC于E,当四边形PQP′C为菱形时,得出△APE∽△ABC,






(3)由(1)知,PD=﹣



在△APQ中,分三种情况讨论:①当AQ=AP,即t=5﹣t,②当PQ=AQ,即


试题解析:
解:(1)如图甲,过点P作PH⊥AC于H,
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴


∵AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=5cm,
∴


∴PH=3﹣

∴△AQP的面积为:
S=






∴当t为


(2)如图乙,连接PP′,PP′交QC于E,
当四边形PQP′C为菱形时,PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,
∴△APE∽△ABC,
∴


∴AE=



QE=AE﹣AQ═﹣


QE=



∴﹣


解得:t=

∵0<

∴当四边形PQP′C为菱形时,t的值是

(3)由(1)知,
PD=﹣


∴PQ=



在△APQ中,
①当AQ=AP,即t=5﹣t时,解得:t1=

②当PQ=AQ,即


③当PQ=AP,即


∵0<t<4,
∴t3=5,t4=0不合题意,舍去,
∴当t为






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