题目内容

【题目】如图,四边形是正方形,点的中点,交正方形外角的平分线,连接,求证:

是等腰直角三角形.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

1)取AB中点M连接ME利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质证得△AME≌△ECF得出结论

2)利用(1)图AEF是等腰直角三角形2=4ACF=B证得结论

3设正方形ABCD边长为2aBE=a,FFNBC的延长线于NFPCDP证得四边形PCNF是矩形FCN是等腰直角三角形FNE≌△EBAAAS),得到FN=BE=a进而得到DC=FC即可得到△DFC是等腰直角三角形

1)如图(1),AB中点M连接MEAM=BM=BE=CE=BC∴在RtBMEBME=BEM=45°,∴∠AME=135°,1+∠2=45°.

∵∠AEF=90°,∴∠1+∠3=45°,∴∠2=3

CF是正方形外角的平分线∴∠DCF=×90°=45°,∴∠ECF=90°+45°=AME

在△AME和△ECF中,∵∴△AME≌△ECFASA),AE=EF

2)如图(1).∵∠AEF=90°,AE=EF∴△AEF是等腰直角三角形∴∠EAF=45°,即∠4+∠5=45°.

AC为正方形ABCD的对角线∴∠BAC=45°,即∠2+∠5=45°,∴∠2=4

∵∠DCF=DCA=×90°=45°,∴∠ACF=45°+45°=90°=B∴△ABE∽△ACF

3)如图(2),设正方形ABCD边长为2aBE=aAE=EF=a

∵△AEF是等腰直角三角形AF=AE=a

FFNBC的延长线于NFPCDP则四边形PCNF是矩形FNE=90°=B

∵∠FCN=45°,∴△CNF是等腰直角三角形,∴CN=FN

又由(1)知3=2EF=AE.在FNE和△EBA中,∵∴△FNE≌△EBAAAS),FN=BE=aPC=PF=CN=a,∴DP=a,∴DF==,∴DC=FC

∵∠DCF=45°,∴∠CDF=45°,∴∠DFC=90°,∴△DFC是等腰直角三角形

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