Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：将点P沿向右或向上的方向平移一次，平移距离为d（d＞0）个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G上，则称点P为图形G的“达成点”．特别地，当点P在图形G上时，点P是图形G的“达成点”．例如，点P（﹣1，0）是直线y＝x的“达成点”．

已知⊙O的半径为1，直线l：y＝﹣x+b．

（1）当b＝﹣3时，

①在O（0，0），A（﹣4，1），B（﹣4，﹣1）三点中，是直线l的“达成点”的是：_____；

②若直线l上的点M（m，n）是⊙O的“达成点”，求m的取值范围；

（2）点P在直线l上，且点P是⊙O的“达成点”．若所有满足条件的点P构成一条长度不为0的线段，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①A，B；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b＜．

【解析】

（1）①根据“达成点”的定义即可解决问题．

②过点（0，1）和点（0，﹣1）作x轴的平行线分别交直线l于M1，M2，过点（1，0）和点（﹣1，0）作y轴的平行线分别交直线l于M3，M4，由此即可判断．

（2）当M2与M3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，可得b＝﹣2；当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F，求出点E的坐标，即可判断．

（1）①∵b＝﹣3时，直线l：y＝﹣x﹣3，

∴直线l与x轴的交点为：（﹣3，0），直线l与y轴的交点为：（0，﹣3），

∴O（0，0）在直线l的上方，

∴O（0，0）不是直线l的“达成点”，

∵当x＝﹣4时，y＝4﹣3＝1，

∴点A（﹣4，1）在直线l上，

∴点A是直线l的“达成点”，

∵点B（﹣4，﹣1）在直线l的下方，把点B（﹣4，﹣1）向上平移2个长度单位为（﹣4，1），

∴点B是直线l的“达成点”，

故答案为：A，B；

②设直线l：y＝﹣x﹣3，分别与直线y＝1、y＝﹣1、x＝﹣1、x＝1依次交于点M1、M2、M3、M4，如图1所示：

则点M1，M2，M3，M4的横坐标分别为﹣4、﹣2、﹣1、1，

线段M1M2上的点向右的方向平移与⊙O能相交，线段M3M4上的点向上的方向平移与⊙O能相交，

∴线段M1M2和线段M3M4上的点是⊙O的“达成点”，

∴m的取值范围是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；

（2）如图2所示：

当M2与M3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，∴b＝﹣2；

②当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F．

由题意，在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝45°，

∴△OEF是等腰直角三角形，

∴OF＝OE＝；

观察图象可知满足条件的b的值为﹣2≤b＜．