题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣asinx﹣1,a∈R.
(1)若a=1,求f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若f(x)≥0在区间[0,1)恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解: a=1时,f(x)=ex﹣sinx﹣1,f′(x)=ex﹣cosx,
∴f′(0)=e0﹣cos0=0,且f(0)=e0﹣sin0﹣1=0,
∴f(x)在x=0处的切线方程为:y=0
(2)f(x)≥0在区间[0,1)恒成立asinx≤ex﹣1在区间[0,1)恒成立.
①当x=0时,a∈R,
②当x∈(0,1)时,原不等式等价于a ,
令h(x)= ,x∈(0,1)
h′(x)= ,
令G(x)=exsinx﹣excosx+cosx,(x∈(0,1))
G′(x)=(2ex﹣1)sinx≥0,在x∈(0,1)恒成立.
∴G(x)=exsinx﹣excosx+cosx,(x∈(0,1))单调递增,而G(0)=0.
故G(x)≥0在(0,1)上恒成立,∴h′(x)≥在(0,1)上恒成立.
h(x)在(0,1)上递增,
x→0时,sinx→0,ex﹣1→0,
由洛必达法则得 =
=
,
即a≤1,
综上,a的取值范围为(﹣∞,1]
【解析】(1)利用导数的几何意义,求出切线的斜率、切点,由点斜式写出方程.(2)f(x)≥0在区间[0,1)恒成立asinx≤ex﹣1在区间[0,1)恒成立.①当x=0时,a∈R,②当x∈(0,1)时,原不等式等价于a , 令h(x)=
,x∈(0,1),利用导数求出h(x)在(0,1)上递增,由洛必达法则得
=
=
,即可求得a的取值范围
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.

【题目】某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后,经过统计得到此商品单价在第x天(x为正整数)销售的相关信息,如表所示:
销售量n(件) | n=50﹣x |
销售单价m(元/件) | 当1≤x≤20时, |
当21≤x≤30时, |
(1)请计算第15天该商品单价为多少元/件?
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数关系式;
(3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?