Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣asinx﹣1，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）≥0在区间[0，1）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1时，f（x）=ex﹣sinx﹣1，f′（x）=ex﹣cosx，

∴f′（0）=e0﹣cos0=0，且f（0）=e0﹣sin0﹣1=0，

∴f（x）在x=0处的切线方程为：y=0

（2）f（x）≥0在区间[0，1）恒成立asinx≤ex﹣1在区间[0，1）恒成立．

①当x=0时，a∈R，

②当x∈（0，1）时，原不等式等价于a ，

令h（x）= ，x∈（0，1）

h′（x）= ，

令G（x）=exsinx﹣excosx+cosx，（x∈（0，1））

G′（x）=（2ex﹣1）sinx≥0，在x∈（0，1）恒成立．

∴G（x）=exsinx﹣excosx+cosx，（x∈（0，1））单调递增，而G（0）=0．

故G（x）≥0在（0，1）上恒成立，∴h′（x）≥在（0，1）上恒成立．

h（x）在（0，1）上递增，

x→0时，sinx→0，ex﹣1→0，

由洛必达法则得 = = ，

即a≤1，

综上，a的取值范围为（﹣∞，1]

【解析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率、切点，由点斜式写出方程．（2）f（x）≥0在区间[0，1）恒成立asinx≤ex﹣1在区间[0，1）恒成立．①当x=0时，a∈R，②当x∈（0，1）时，原不等式等价于a ， 令h（x）= ，x∈（0，1），利用导数求出h（x）在（0，1）上递增，由洛必达法则得 = = ，即可求得a的取值范围
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．