Question

【题目】如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求EF的长；

（3）求sin∠EFD的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF＝；（3）sin∠EFD＝.

【解析】

（1）先判断出△AOD是等边三角形，进而得出OD∥BC，即可得出结论；
（2）先求出CD=6，进而求出CE，即可求出BE，即可得出结论；
（3）先求出OG，DG，再求出BF，即可求出FG，利用勾股定理求出DF，即可得出结论．

（1）如图1，连接OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠ADO＝60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD＝60°＝∠B，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知，OD∥BC，

∵OA＝OB，

∴AD＝CD，

∵AC＝12，

∴CD＝6，

在Rt△CDE中，∠C＝60°，

∴∠CDE＝30°，

∴CE＝CD＝3，

∴BE＝BC﹣CE＝9，

在Rt△BEF中，∠B＝60°，

∴∠BEF＝30°，

∴EF＝BEcos∠BEF＝9×cos30°＝；

（3）如图2，连接DF，OD，过点D作DG⊥AB于G，

∵EF⊥AB，

∴∠EFD＝∠GDF，

∵△AOD是等边三角形，

∴OG＝OA＝3，

∴DG＝OGtan∠AOD＝3，

在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，BE＝9，

∴BF＝BE＝，

∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝

∴FG＝OG+OF＝，

在Rt△DGF中，根据勾股定理得，DF＝＝，

∴sin∠EFD＝sin∠GDF＝＝＝．