Question

你能化简(x－1)(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋……＋x＋1）吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．
分别计算下列各式的值：
①(x－1)(x＋1）＝x²－1；
②(x－1)(x²＋x＋1）＝x³－1；；
③(x－1)(x³＋x²＋1）＝x⁴－1；；……
由此我们可以得到：(x－1）(x⁹⁹＋x⁹⁸＋x⁹⁷＋…＋x＋1）＝________________；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
(1) 2⁹⁹＋2⁹⁸＋2⁹⁷＋……＋2＋1；
(2)(－2)⁵⁰＋(－2)⁴⁹＋(－2)⁴⁸＋……＋（－2）＋1

Answer 1

2¹⁰⁰-1；（1）2¹⁰⁰-1；（2）.

试题分析：根据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x⁹⁹+x98+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1，根据上述结论计算下列式子即可．
试题解析：根据题意：（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（2）（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（3）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
故（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1．
根据以上分析：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1=（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1）=2¹⁰⁰-1；
（2）（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…（-2）+1=-（-2-1）[（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…（-2）+1]
=-（-2⁵¹-1）=.