题目内容

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE．若S_△ADE=3，CE= $数学公式$ ，则梯形ABCD的面积是________．

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分析：先过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知△CDF≌△EDG，从而有CF=EG，由△ADE的面积可求EG，得出CF的长，由矩形的性质得BF=AD，从而求出BC的长，再根据∠CDE=90°，得出CD²+DE²=CE²，求出CD的长，最后根据勾股定理求出DF的值，即可求出梯形ABCD的面积．
解答：

解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，
由旋转的性质可得：CD=ED，∠EDG+∠CDG=∠CDG+∠FDC=90°，
在△CDF和△EDG中，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴△CDF≌△EDG，
∴CF=EG，CD=DE，
∵S_△ADE= $\text{[math]}$ AD×EG=3，AD=2，
∴EG=3，则CF=EG=3，
∵四边形ABFD为矩形，
∴BF=AD=2，
∴BC=BF+CF=2+3=5，
∵∠CDE=90°，
∴CD²+DE²=CE²，
∴2CD²=CE²，
∴2CD²=（ $\text{[math]}$ ）²，
∴CD= $\text{[math]}$ ，
∴DF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
∴梯形ABCD的面积是： $\text{[math]}$ （AD+BC）•DF= $\text{[math]}$ （2+5）×2=7；
故答案为：7．
点评：本题考查了直角梯形、全等三角形的判定与性质、勾股定理和旋转的性质，解题的关键是通过DC、DE的旋转关系，作出旋转的三角形，再根据旋转的性质求出各边的长．