Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）求证：△ADE≌△CBF；

（3）当四边形BEDF是菱形时，直接写出线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=．

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据△BOE≌△DOF可知DE=BF，由AD=BC，∠DAE=∠BCF=90°即可证明△ADE≌△CBF；（3）设BE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）∵四边形BEDF是平行四边形，

∴DE=BF，

∵矩形ABCD，

∴∠DAE=∠BCF=90°，AD=BC，

在Rt△ADE与Rt△CBF中

，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）；

（3）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，

设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

∴x2=42+（6﹣x）2，

解得：x=，

∵BD= ，

∴OB=BD=，

∵BD⊥EF，

∴EO=，

∴EF=2EO=．