题目内容

30、求一个一元二次方程，使它的两个根为x1，x2，且满足x12+x22=10，x1x2=3．
分析：对于要求的一元二次方程，它的两个根为x1，x2，只要求出两根的关系即可．
∵x12+x22=10，x1x2=3，对此进行化简有2x1x2=6，（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2=16．
所以要求方程的根应满足：x1+x2=±4，x1x2=3．故这个一元二次方程为：x2-4x+3=0，或x2+4x+3=0．
解答：解：∵x12+x22=10，2x1x2=6，
∴（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2=16，
由此得：x1+x2=±4，
故这个一元二次方程为：x2-4x+3=0，或x2+4x+3=0．
点评：本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，已知两根之间的关系，求方程的系数关系，即韦达定理的逆用．
练习册系列答案
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已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+（m-
1
2
）2+
7
4
=0的两个根．
（1）当m=2和m＞2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的长；
（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD．
求一个一元二次方程，使它的两个根是-3
1
3
、2
1
2
．
请阅读下列材料：问题：已知方程x2+15x-1=0，求一个一元二次方程，是它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程根为y，则y=2x，所以x=
y
2
，把x=
y
2
带人已知方程，得(
y
2
)2+15
y
2
-1=0，化简得y2+30y-4=0．故所求的方程为y2+30y-4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的换根法求新方程（要求把方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程．是它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：
y2-y-2=0
y2-y-2=0
．
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
已知方程2x2-3x-3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是a+1，b+1．
请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍
解：设所求方程的根为y，则y=2x，
所以x=
y
2
．
把x=
y
2
代入已知方程，得
(
y
2
)2+
y
2
-3=0
化简，得y2+2y-12=0故所求方程为y2+2y-12=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为
y2+3y-9=0
y2+3y-9=0

（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的方程x2-mx+n=0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．

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