题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，MA交y轴于点N，
＝
.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，若 ＝时，求点P的坐标；
（3）将（1）中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为（1）中的抛物线上的一点直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使△ANG 与△ADM相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式；若不存在，请说明理由．
【小题1】∵ M为抛物线
的顶点，
∴M（2，c）．∴OH＝2，MH＝|c|．∵a<0，且抛物线与x轴有交点，
∴c＞0，∴MH＝c．
∵sin∠MOH＝
，∴
．∴OM＝
，∵
，
∴MH＝c＝4．∴M（2，4）．
∴抛物线的函数表达式为：
．
【小题2】如图1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH．∴∠EHO＝∠FMH，∠OEH＝∠HFM．∴△OEH∽△HFM．∴＝＝．∵＝，∴MF＝HF．∴∠OHP＝∠FHM＝45°．∴OP＝OH＝2，∴P（0，2）．如图2，同理可得，P（0，－2）．
【小题3】∵A（-1，0），∴D（1，0）．∵M（2，4），D（1，0），∴MD：
．
∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，∴
，∴AN＝
，ON＝
，N（0，）．
如图3，若△ANG ∽ △AMD，可得NG∥MD，∴QG：
．如图4，若△ANG ∽ △ADM，可得，
．∴AG＝
，∴G（
，0），∴QG：
；
综上所述，符合条件的所有直线QG的解析式为：或．……4分
解析
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