题目内容
【题目】定义:若一个三角形中,其中有一个内角是另外一个内角的一半,则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如:等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中,,,,过点的直线交边于点.点在直线上,且.
(1)若,点在延长线上.
① 当,点恰好为中点时,依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”:_______;
② 如图2,若,图中是否存在“半角三角形”(△除外),若存在,请写出图中的“半角三角形”,并证明;若不存在,请说明理由;
(2)如图3,若,保持的度数与(1)中②的结论相同,请直接写出,, 满足的数量关系:______.
【答案】(1)① 如图,见解析;△或△或△或△; ②存在,“半角三角形”为△;证明见解析;(2)或.
【解析】
(1)①根据题干描述作出图形即可,利用等腰三角形的性质,根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意,可得出结果.②延长到,使得,连接,构造全等三角形△≌△.再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化,可求得,从而可得出结果.
(2)由(1)中②可知,,延长到点,使得,连接BF,构造全等三角形△≌△,进而可得出.因为,所以以为圆心,长为半径作圆与直线一定有两个交点,当第一种情况成立时,必定存在一个与它互补的,所以可得出另外一种情况.
(1)① 如图,
图中的一个 “半角三角形”:△或△或△或△;
② 存在,“半角三角形”为△.
延长到,使得,连接.
∵,
∴ .
∴ .
∵,
∴.
∴.
在△和△中,
∴ △≌△.
∴ ,.
∵ ,
∴ .
∴.
∴∠BAE=2∠BEA,
∴△ 为“半角三角形”.
(2)或.
解:①延长到点,使得,连接BF,
∵,,
∴△≌△.
过点分别作于点,
于点,
可得.
∴.
②因为,所以以为圆心,长为半径作圆与直线一定有两个交点,当第一种情况成立时,必定存在一个与它互补的.
可知:.
综上所述,这三个角之间的关系有两种,
或.