题目内容
如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H．点P是弧AC上一点（点P不与A、C两点重合）．连接PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH•BH；② |
| AD |
|
| AC |
分析：根据圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，相交弦定理，对4个结论逐一分析即可．
解答：
证明：①由相交弦定理知，CH•HD=CH2=AH•BH，
故①正确；
②∵H是CD的中点，
∴
=
，（垂径定理）
故②正确；
③连接BD，
∵直径AB垂直于弦CD，垂足为H，
∴△ADH∽△ADB，
∴可得AD2=AH•AB，
故③不正确，
④∵弧AC对的圆周角为∠ADC，弧AD对的圆周角为∠APD，
=
，②已证
∴∠ADC=∠APD，
∵∠EPC=∠ADC，由圆内接四边形的外角等于它的内对角知
∴∠EPC=∠APD，
故④正确．综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
证明：①由相交弦定理知，CH•HD=CH2=AH•BH，故①正确；
②∵H是CD的中点，
∴
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| AD |
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| AC |
故②正确；
③连接BD，
∵直径AB垂直于弦CD，垂足为H，
∴△ADH∽△ADB，
∴可得AD2=AH•AB，
故③不正确，
④∵弧AC对的圆周角为∠ADC，弧AD对的圆周角为∠APD，
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| AD |
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| AC |
∴∠ADC=∠APD，
∵∠EPC=∠ADC，由圆内接四边形的外角等于它的内对角知
∴∠EPC=∠APD，
故④正确．综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，综合性较强．难易程度适中，是一道很典型的题目．
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