题目内容
已知：关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0。
（1）求证：m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，
①求二次函数y的解析式；
②已知一次函数y2=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）条件下，若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2 均成立，求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式。
（1）求证：m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，
①求二次函数y的解析式；
②已知一次函数y2=2x-2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）条件下，若二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（-5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2 均成立，求二次函数y3=ax2+bx+c的解析式。
| 解：（1）分两种情况： 当m=0时，原方程可化为3x-3=0，即x=1； ∴m=0时，原方程有实数根； 当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程， ∵△=[-3（m-1）]2-4m（2m-3）=m2-6m+9=（m-3）2≥0， ∴方程有两个实数根； 综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根； （2）①∵关于x的二次函数y1=mx2-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称； ∴3（m-1）=0，即m=1； ∴抛物线的解析式为：y1=x2-1； ②∵y1-y2=x2-1-（2x-2）=（x-1）2≥0， ∴y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）； （3）由②知，当x=1时，y1=y2=0，即y1、y2的图象都经过（1，0）； ∵对应x的同一个值，y1≥y3≥y2成立， ∴y3=ax2+bx+c的图象必经过（1，0）， 又∵y3=ax2+bx+c经过（-5，0）， ∴y3=a（x-1）（x+5）=ax2+4ax-5a； 设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-（2x-2）=ax2+（4a-2）x+（2-5a）； 对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立， ∴y3-y2≥0， ∴y=ax2+（4a-2）x+（2-5a）≥0； 根据y1、y2的图象知：a＞0， ∴y最小=  ≥0∴（4a-2）2-4a（2-5a）≤0， ∴（3a-1）2≤0， 而（3a-1）2≥0，只有3a-1=0，解得a=  ， ∴抛物线的解析式为：y3=  x2+ x- 。 |
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